I\DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
· On désigne par cos', sin' et tan' les fonction dérivés de cos, sin et tan respectivement.
Pour tout x ∈ IR on a: cos'(x) = - sin(x)
sin'(x) = cos(x)
On a: tan(x) =sin(x) /cos(x)
donc: tan'(x)=sin'(x)/cos(x) + sin(x)/cos'(x)
= cos(x)/cos(x) +sin(x) [-(-)sin(x)/2cos(x)]
= 1 + sin²(x)/cos²(x)
= 1 + tan²(x)
= 1 + tan²(x)
= 1/cos²(x)
· Soit a, b ∈ IR avec a ≠ 0
a) f : IR ⟶IR
x ⟼ cos(ax+b), est continue et dérivable sur IR.
Et ∀ x ∈ IR, f'(x) = -a.sin(ax+b)
b) g : IR ⟶IR
x ⟼ sin(ax+b), est continue et dérivable sur IR.
Et ∀ x ∈ IR, f'(x) = a.cos(ax+b)
c)h : IR ⟶IR
x ⟼ tan(ax+b), est continue et dérivable sur {IR/ax+b ≠ π/2}.
Et ∀ x ∈ IR, h'(x) = a.[1 + tan²(ax+b)]
II\ Périodicité des fonctions trigonométriques
Soit f une fonction définie sur un ineterval D de IR.
On dit que f est periodique si et seulement si il ∃ un réel p ≠ 0 tel que ∀ x ∈ D on a:
f(x+p)=f(x)
x + p ∈ D.
Remarque:
Le plus petit réel positif de p est la période de la fonction f.
Retenons
·
a)La fonction cos(x) est périodique de période 2.π
b)La fonction sin(x) est périodique de période 2.π
c)La fonction tan(x) est périodique de période π
·
a) f :x ⟼ cos(ax+b)est périodique de période T=2.π/|a|
b) g :x ⟼ sin(ax+b)est périodique de période T=2.π/|a|
c) h :x ⟼ tan(ax+b)est périodique de période T= π/|a|
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