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Exemple d'étude des fonctions trigonométriques

 

Soit f : IR ⟶IR

             x  ⟼ cos(2x)-2sin(x)

On désigne par Cf sa courbe représentative sur un repère orthonormé (O, i⃗,j⃗).

 1\La périodicité

  ·Montrez que f est périodique de période T=2π

On a: f(x)=cos(2x)-2.sin(x)

Donc f(x+2π)=cos[2(x+2π)]-2sin(x+2π)

            =cos(2x+2.2π)-2sin(x+2π)

            =cos(2x)-2sin(x)

            =f(x)

D'où f est périodique de période T=2π

2\Le domaine d'étude de f 

  ·Montrer que (∆):π/2 est un axe de symétrie de Cf

_On ∀ x ∈ Df=IR,   2.π/2 -x = π-x ∈ Df

_f(π-x)=cos[2(π-x)]-2sin(π-x)

       =cos(2π-2x)-2sin(π-x)

       =cos(-2x)-2sin(x)

       =cos(2x)-2sin(x)

       =f(x)

Donc (∆):π/2  est un axe de symétrie de Cf.

_On a f est périodique de période T=2π.

   Donc on peut réduire le domaine d'étude de Cf à un intervalle d'amplitude T=2π de centre π/2.

[-π/2 , 3π/2]

_(∆):π/2  est un axe de symétrie de Cf

   Donc on peut étdier Cf sur I=[-π/2 , π/2]

3\Les variations de Cf

f'(x)=cos'(2x)-2sin'(x)

     =-2sin(2x)-2cos(x)

     =-2[sin(2x)+cos(x)]

     =-2[2.sin(x).cos(x)+cos(x)]

     =-2[cos(x)(2.sin(x)+1)]

f'(x)=0 ⇔-2[cos(x)(2.sin(x)+1)]=0

        ⇔ cos(x)(2.sin(x)+1)=0

        ⇔(cos(x)=0) ou (2.sin(x)+1=0)
        ⇔(cos(x)=0) ou (sin(x)=-1/2)

        ⇔(x=π/2+k.π) ou (x=-π/6+2k'π ou x=7π/6+2k'π) ;(k, k') ∈ IR²

        )))Le tableau de variations de f(x)

 

4\La construction de Cf 

[ On va construire Cf sur un intervalle d'amplitude 2π et de centre π/2 I"=[-π/2, 3π/2] ]
On s'intéresse premièrement par la première par la construction de Cf sur I=[-π/2, π/2]

     ·On commence par la construction des axes:
_(∆): x =π/2  l'axe de symétrie de Cf
_(∆'): x = -π/2 la limite de l'intervalle I"
_(∆''):x =3π/2 la limite de l'intervalle I"

        ·Puis on construit les tangentes parallèles à (O,i⃗)
_(T') :y=1    la tangente à Cf en -π/2
_(T"):y=-3   la tangente à Cf en π/2
_(T') :y=3/2 la tangente à Cf en -π/6

       ·On construit le point d'intersection de Cf avec (O,j⃗)
Cf ⋂ (O,j⃗) = {A(0,1)}

       ·La construction de la deuxième partie de Cf.
On (∆): x =π/2 est un axe de symétrie de Cf donc on peut construire la deuxième partie de Cf  à partir de la première partie de Cf.

On commence par la construction des tangentes et les points importants puis on construit le reste de la restriction de Cf dans I" .

NB:  Pour construire la courbe  Cf  sur IR il faut translater la restriction de Cf sur I" d'un vecteur ki⃗ avec k∈IR   

Fonctions Trigonométriques

  

I\DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

· On désigne par cos', sin' et tan' les fonction dérivés de cos, sin et tan respectivement.

Pour tout x ∈ IR on a: cos'(x) = - sin(x)

                                      sin'(x) = cos(x) 

On a: tan(x) =sin(x) /cos(x)

donc: tan'(x)=sin'(x)/cos(x) + sin(x)/cos'(x)

           = cos(x)/cos(x) +sin(x) [-(-)sin(x)/2cos(x)]

           = 1 + sin²(x)/cos²(x)   
           = 1 + tan²(x)

           = 1/cos²(x)  

·  Soit a, b ∈ IR avec a ≠ 0

  a) f : IR ⟶IR

             x  ⟼ cos(ax+b),  est continue et dérivable sur IR.

Et ∀ x ∈ IR,  f'(x) = -a.sin(ax+b)

 b) g : IR ⟶IR

        x  ⟼ sin(ax+b),  est continue et dérivable sur IR.

Et ∀ x ∈ IR,  f'(x) = a.cos(ax+b)

c)h : IR ⟶IR

    x  ⟼ tan(ax+b),  est continue et dérivable sur {IR/ax+b ≠ π/2}.

Et ∀ x ∈ IR,  h'(x) = a.[1 + tan²(ax+b)] 

II\ Périodicité des fonctions trigonométriques

Soit f une fonction définie sur un ineterval D de IR.

On dit que f est periodique si et seulement si il ∃ un réel p ≠ 0 tel que ∀ x ∈ D on a:

         f(x+p)=f(x)

                       x + p ∈ D.

  Remarque:

Le plus petit réel positif de p est la période de la fonction f.

    Retenons

·

a)La fonction cos(x) est périodique de période 2.π

b)La fonction sin(x) est périodique de période 2.π

c)La fonction tan(x) est périodique de période   π

·

 a) f :x ⟼ cos(ax+b)est périodique de période T=2.π/|a|

 b) g :x ⟼ sin(ax+b)est périodique de période T=2.π/|a|

 c) h :x ⟼ tan(ax+b)est périodique de période T=  π/|a|

 III\ Réduction du domaine d'étude

(Le rest du cours: un exemple d'étude des fonctions trigonométriques)

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